Sujet 0, 2024

L'exercice est constitué de deux parties indépendantes.

Partie I

Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(1\) , on désigne par \(f_{n}\) la fonction définie sur \([0~;~1]\) par  \(f_{n}(x) = x^{n} \text e^{x}\) .
On note \(C_{n}\) la courbe représentative de la fonction \(f_{n}\) dans un repère \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)\) du plan.
On désigne par \(\left(I_{n}\right)\) la suite définie pour tout entier   \(n\) supérieur ou égal à \(1\) par  \(\displaystyle I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} \text e^{x} \mathrm{~d} x\) .

1. a. On désigne par  \(F_{1}\) la fonction définie sur \([0~;~1]\) par  \(F_{1}(x) = (x-1) \text e^{x}\) . Vérifier que \(F_{1}\) est une primitive de la fonction \(f_{1}\) .
    b. Calculer  \(I_{1}\) .

2. À l'aide d'une intégration par parties, établir la relation pour tout   \(n\) supérieur ou égal à \(1\) , \(I_{n + 1} = \text e-(n + 1) I_{n}\) .

3. Calculer \(I_{2}\) .

4. On considère la fonction \(\textrm{mystere}\) écrite dans le langage Python :

\(\begin{array}{|l|}\hline\textrm{from math import e # la constante d'Euler e} \\\\\textrm{def mystere(n) :}\\\quad \textrm{a = 1}\\\quad \textrm{L = [a]}\\\quad \textrm{for i in range(1,n) :}\\\quad\quad \textrm{a = e - (i + 1)*a}\\\quad\quad \textrm{L.append(a)}\\\quad \textrm{return L}\\\hline\end{array}\)

À l'aide des questions précédentes, expliquer ce que renvoie l'appel \(\textrm{mystere(5)}\) .

Partie II

1. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les courbes \(C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{10}, C_{20}\)  et  \(C_{30}\) .

    a. Donner une interprétation graphique de \(I_{n}\) .
    b. Quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite  \(\left(I_{n}\right)\) ?

2. Montrer que, pour tout   \(n\) supérieur ou égal à \(1\) ,  \(0 \leqslant I_{n} \leqslant \text e \displaystyle \int_{0}^{1} x^{n} \mathrm{~d} x\) .

3. En déduire \(\displaystyle \lim_{n \to + \infty} I_{n}\) .